Énoncé:
Ça y est, vous voilà enfin en week-end! et pour fêter ça dignement vous décidez de vous servir un grand verre d’eau (30 cl, soyons fous!).
Conscient d’être face à un grand moment d’histoire, vous vous demandez soudain si votre verre pourrait contenir de l’eau ayant déjà été bue par Jules César, Charlemagne ou Napoléon…
Alors, d’après vous quelle est la probabilité pour que votre verre contienne un peu de ces trois personnages historiques?
Plus exactement, quelle est la probabilité pour que votre verre contienne à la fois des molécules d’eau bues par César, des molécules d’eau bues par Charlemagne et des molécules d’eau bues par Napoléon…
Solution:
La réponse est surprenante, mais la probabilité que cela vienne effectivement à se produire est nettement supérieure à 99%.
En fait, les ordres de grandeur en jeu sont tels, que nous serions arrivés au même résultat si je vous avais demandé « quelle est la probabilité pour que votre verre d’eau contienne une partie du dernier verre de chacun des 300 guerriers spartiates de Leonidas avant la grande bataille des Thermopyles? »
Si ça ce n’est pas un verre de guerrier, je mange ma cape.
Calcul et ordres de grandeur:
Pour répondre à cette question, nous avons besoin de faire l’hypothèse que les molécules d’eau bues par ces trois personnages historiques ont eu le temps de se répandre à peu près uniformément sur la planète. Cela n’est pas complètement absurde, car ces bons messieurs nous ont quittés il y a déjà quelques temps et un certain nombre de phénomènes assurent un brassage continu de l’eau sur la planète (cycle de l’eau, vents, courants marins,…).
On néglige également les phénomènes de craquage de la molécule d’eau.
Une fois ces hypothèses faites, il nous faut connaitre deux données:
- Le nombre de molécules d’eau dans votre verre d’eau: environ 1×1025 molécules.
Pour ceux qui ont quelques souvenirs du lycée, pour obtenir ce résultat, on divise le poids de notre eau (env. 300g) par la masse molaire de l’eau (18g/mol) et on multiplie le tout par la constante d’Avogadro (6.02×1023) - Le volume d’eau global sur la planète : 1 340 000 000 km3. soit 1,34×1021 litres d’eau soit enfin 4,4×1046 molécules d’eau.
Source: National Oceanic and Athmospheric Administration
Nos protagonistes ayant tous trois vécus une cinquantaine d’années, on peut donc estimer le nombre de verres bus par chacun de ces hommes à 20 000 (cela fait à peine plus d’un verre par jour) soit 2×1029 molécules d’eau bues dans une vie.
Déjà, sans faire de calcul de probabilité, nous voyons que si les molécules bues par l’un de ces hommes à capes ont bien été réparties sur la planète, alors chaque verre d’eau servi aujourd’hui devrait contenir plus de 45 millions de ces molécules.
On a donc à priori de bonnes chances d’en retrouver dans votre verre d’eau.
Calcul formel de la probabilité
Intéressons nous d’abord à Jules César, la probabilité qu’une molécule d’eau prise au hasard ait été bue par ce bon Julius est égale au ratio:
Ainsi, la probabilité que votre verre ne contienne aucune molécule d’eau bue par César est donc égale à :
Enfin donc la probabilité que votre verre d’eau contienne des molécules d’eau bues par César, Charlemagne et Napoléon est donc égale à:
Le résultat du calcul ci-dessus* donne une probabilité supérieure à 99.9%.
*Remarque: compte tenu des ordres de grandeur en jeu, votre calculatrice traditionnelle ne dispose pas d’une précision de calcul suffisante pour vous permettre de résoudre ce calcul à la maison (elle vous donnera probablement un résultat de 0). Si vous voulez refaire ce calcul chez vous, vous devez passer par un calculateur plus puissant [en voici un en ligne gratuit].
Référence:
une vidéo du très bon David Louapre traitant du sujet [ici]